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title: 工程问题
description: 工程问题-数量关系-上岸学堂
keywords: 工程问题,数量关系,上岸学堂,行测,数量关系
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# 工程问题

## 一、核心公式

工程问题的核心公式是：

$$W = E \times T$$

其中：
- $$W$$：工作总量
- $$E$$：效率
- $$T$$：时间

> 注意：这个公式是解决工程问题的基础，考生必须牢记并灵活运用。

## 二、解题技巧

### （一）比例法

比例法的核心思想是：**用比例不用方程，用份数不用分数**。

> 举例：如果甲、乙两人合作完成一项工程，效率比为2:3，那么他们的工作量比也是2:3。

### （二）赋值法（特殊值法）

适用情况：在乘积关系的三个量中，只知道其中一个的具体数值，另外两个只知道比例关系。

步骤：
1. 选择工作总量作为突破口
2. 假设工程量为1或某个合适的值（通常选择最小公倍数）

> 技巧：赋值为1往往可以简化计算，但选择最小公倍数有时能避免出现分数，使计算更简单。

### （三）方程法

#### 1. 只给出工作时间的情况

例题：一项工程，甲单独30天完成，乙单独45天完成，两人合作几天完成?

解题步骤：
1. 赋值总量为时间的最小公倍数（这里是90）
2. 求出各自的效率：
   - 甲：$$E_1 = 90 \div 30 = 3$$
   - 乙：$$E_2 = 90 \div 45 = 2$$
3. 合作时的总效率：$$E = E_1 + E_2 = 3 + 2 = 5$$
4. 合作完成时间：$$T = W \div E = 90 \div 5 = 18$$天

#### 2. 效率制约型

情况分类：
- 两人效率比
- 前后效率比：效率提高20%，前后效率比1:1.2，即5:6
- 效率相同
- 阶段效率比: 某一部分工程，甲完成需要5天，乙要3天。甲乙效率比3：5 

解题方法：赋值效率

例题：一项工程，甲和乙的工作效率比2:3，合作8天完成，甲单独几天完成?

解题步骤：
1. 赋值甲效率为2，乙效率为3
2. 合作效率：$$2 + 3 = 5$$
3. 设工程总量为 $$x$$，则有：$$5 \times 8 = x$$
4. 甲单独完成时间：$$T = x \div 2 = (5 \times 8) \div 2 = 20$$天

#### 3. 效率给出型

直接给出效率具体值的情况，如甲每天生产50个零件。

解题方法：直接根据公式 $$W = E \times T$$ 进行分析求解。

## 例题讲解

### 给出时间型：赋值总量 
**例**：
两根同样长的木炭，燃烧完一根粗的木炭需要2小时，
燃烧完一根细的木炭需要1小时。现同时点燃这两根木炭，若干分钟后将两
根木炭同时熄灭，发现粗木炭的剩余长度是细木炭的剩余长度的2倍，则燃
烧了（  ）分钟。

- A. 35              
- B. 40 
- C. 45              
- D. 50

<BlurredAnswer>
给出时间型，赋值总量。 
（1）总长度=燃烧速度×时间，赋值木炭长度为2，则粗木炭燃烧速度为
1，细木炭速度2。 <br/>
（2）设燃烧时间均为x小时，2－x=（2－2x）×2，x=2/3小时=40分
钟。B。 
</BlurredAnswer>

**例**
某商铺甲、乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批
花朵装饰门店。甲组单独制作需要10小时，乙组单独制作需要15小时，现
两组一起做，期间乙组休息了1小时40分，完成时甲组比乙组多做300朵。
问这批花有多少朵？
- A. 600 
- B. 900 
- C. 1350 
- D. 1500 

<BlurredAnswer>
**解析**: 赋值法，赋值总量。
1. 赋值总量为 $$30$$ 份，则甲效率为 $$3$$ 份，乙 $$2$$ 份。<br/>
2. 设两人一起做时，甲做了 $$t$$ 小时，$$30 = 3t + 2 \left(t - \frac{5}{3}\right)$$，解得 $$t = \frac{20}{3}$$ 小时。
</BlurredAnswer>

### 效率重组提高，总量不变，求时间
**例**：
工厂有5条效率不同的生产线。某个生产项目如果任
选3条生产线一起加工，最快需要6天整，最慢需要12天整；5条生产线一
起加工，则需要5天整。问如果所有生产线的产能都扩大一倍，任选2条生
产线一起加工最多需要多少天完成？

- A. 11 
- B. 13 
- C. 15 
- D. 30 

<BlurredAnswer>
**解析**: 工程问题，时间类，赋值法。

赋值总量 $$60$$，则全部五条的效率为 $$\frac{60}{5} = 12$$，最快的三条生产线效率和为

$$
\frac{60}{6} = 10
$$

得到最慢的两条生产线的效率和为 $$12 - 10 = 2$$。利用扩大一倍，得到现在的两条生产线效率和为 $$4$$，则时间为

$$
\frac{60}{4} = 15 \ (\text{天})
$$

**C**。
</BlurredAnswer>

**例**：
某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9
小时可以完成一项生产任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可
提前1小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提
前1小时完成任务。如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可
以提前多少时间完成？

- A. 1.4 小时 
- B. 1.8 小时 
- C. 2.2 小时 
- D. 2.6 小时 

<BlurredAnswer>

**解析**: 工程问题，时间类，赋值法。

1. 赋值工作总量 $$72$$（$$9$$ 和 $$8$$ 的公倍数）。

2. 工人都在岗位工作时，$$9$$ 小时可以完成一项生产任务，则效率为

$$\frac{72}{9} = 8$$。甲乙交换后，效率变为
$$\frac{72}{8} = 9$$， 提高 $$1$$。丙丁交换后，效率变为
$$\frac{72}{8} = 9$$，提高 $$1$$。

3. 若甲乙、丙丁同时交换，效率提高 $$2$$，即变为 $$8 + 1 + 1 = 10$$，则工作时间为

$$\frac{72}{10} = 7.2 \ \text{（小时）}$$

，即提前 $$9 - 7.2 = 1.8\ \text{（小时）}$$ 完成。**B**。

</BlurredAnswer>

### 效率制约型：赋值效率，求出总量  
**例**：
甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比
是5：4：6。先由甲、乙两人合作6天，再由乙单独做9天，完成全部工程的
60%。若剩下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是

- A. 9              
- B. 11 
- C. 10              
- D. 15

<BlurredAnswer>
**解析**: 效率比例型，赋值效率。

1. 效率比 $$5 : 4 : 6$$，赋值甲乙两效率分别为 $$5$$、$$4$$、$$6$$。

2. 甲乙合作 $$6$$ 天，再由乙单独做 $$9$$ 天，完成全部工程的 $$60\%$$，则工程总量

$$
\frac{5 \times 6 + 4 \times (6 + 9)}{60\%} = 150
$$

。剩下 $$150 \times 40\% = 60$$，两单独完成需要

$$
\frac{60}{6} = 10 \ 
$$

</BlurredAnswer>

### 效率的倍数关系
**例**：
A工程队的效率是B工程队的2倍，某工程交给两队共
同完成需要6天。如果两队的工作效率均提高一倍，且B队中途休息了1
天，问要保证工程按原来的时间完成，A队中途最多可以休息几天？

- A. 4              
- B. 3 
- C. 2              
- D. 1

<BlurredAnswer>
解析：效率比例型，赋值效率。 
（1）效率比2：1，赋值B效率1，A为2。共同完成需6天，总量（2＋
1）×6=18。<br/>
（2）工作效率均提高一倍，得B队效率变为2，A变为4。设A队最多休
息x天，得到$$18=4×（6-x）＋2×（6-1）$$，解得$$x=4$$。A。

</BlurredAnswer>

### 多人合作，分阶段减少人
**例**：
某件刺绣产品，需要效率相当的三名绣工8天才能完
成；绣品完成50%时，一人有事提前离开，绣品由剩下的两人继续完成；绣品
完成75%时，又有一人离开，绣品由最后剩下的那个人做完。那么，完成该件
绣品一共用了

- A. 10 天              
- B. 11 天  
- C. 12 天              
- D. 13 天

<BlurredAnswer>
解析：效率比例型，赋值效率。 <br/>
（1）设每名绣工效率为1，则工程总量3×1×8=24。 <br/>
（2）第一阶段三名绣工工程总量50%×24=12，需要12÷3=4天； <br/>
第二阶段两名绣工工程总量（75%-50%）×24=6，需要6÷2=3天； <br/>
第三阶段一名绣工工程总量（1-75%）×24=6，需要6÷1=6天。一共用
了4+3+6=13 天。D。
</BlurredAnswer>

### 给出各自效率值，方程法
**例**：
甲、乙两人生产零件，甲的任务量是乙的2倍，甲每天生
产200个零件，乙每天生产150个零件，甲完成任务的时间比乙多2天，则
甲、乙任务量总共为多少个零件？

- A. 1200 
- B. 1800 
- C. 2400 
- D. 3600 

<BlurredAnswer>
**解析**: 解法1：方程法。

设乙生产 $$t$$ 天，则甲生产 $$(t+2)$$ 天，甲任务量是乙的 2 倍，

$$
200 \times (t+2) = 2 \times 150 \times t
$$

解得 $$t = 4$$，所以甲任务量 $$1200$$ 个，乙 $$600$$，共 $$1800$$ 个。**B**。

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解法2: 设乙完成任务的时间为 $$t$$ 天，则甲为 $$(t+2)$$ 天。则甲的任务量 = $$200 \times (t+2)$$ 个，乙的任务量 = $$150t$$ 个。因甲的任务量是乙的 2 倍，则

$$
\frac{200 \times (t+2)}{150t} = 2
$$

解得 $$t = 4$$ 天。则乙的任务量 $$150 \times 4 = 600$$ 个，甲的任务量 = 乙 $$\times 2 = 1200$$ 个。二者任务量之和 = $$1200 + 600 = 1800$$ 个。

故正确答案为 **B**。

</BlurredAnswer>

### 单人/分阶段工程问题
**例**：
某项工程，甲工程队单独施工需要30天完成，乙施
工队单独施工需要25天完成，甲队单独施工了4天后改由两队一起施工，期
间甲队休息了若千天，最后整个工程共耗时19天完成，问甲队中途休息了几
天?   

- A. 1      
- B. 3       
- C. 5      
- D. 7 

<BlurredAnswer>
解析：D。赋值法 
工程量赋值150，效率甲5，乙6，甲先做了4天，乙一共工作19-4=15
天，工作量是15×6=90，则甲工作150-90=60，工作时间60/5=12天，则甲
休息了19-12=7天 
</BlurredAnswer>

### 轮流合作型 
**例**：
一条隧道，甲用20天的时间可以挖完，乙用10天的
时间可以挖完，现在按照甲挖一天，乙再接替甲挖一天，然后甲再接替乙挖
一天…如此循环，挖完整个隧道需要多少天? 

- A. 14      
- B. 16      
- C. 15     
- D. 13

<BlurredAnswer>
解析：A。赋值法 
工程量赋值20，效率甲是1，乙是2，甲乙轮流做，一个周期效率是
1+2=3，甲乙合作6周期完成3×6=18，还剩2，甲在做1天，乙半天，所以
一共需要2×6+1+1=14 
</BlurredAnswer>

### 牛吃草问题
**例**：
一条隧道，甲用20天的时间可以挖完，乙用10天的
时间可以挖完，现在按照甲挖一天，乙再接替甲挖一天，然后甲再接替乙挖
一天…如此循环，挖完整个隧道需要多少天? 

- A. 12 小时         
- B. 13 小时      
- C. 14 小时      
- D. 15 小时 

<BlurredAnswer>
解析：A。赋值法 <br/>
工程量赋值12，效率甲3，乙2，甲乙效率和是5，但实际是4，说明渗
水-1，乙单独需12/（2-1）=12

</BlurredAnswer>

**例2**：
同时打开游泳池的A、B两个进水管，加满水需1小时
30 分钟，且A管比B管多进水180立方米。若单独打开A管，加满水需2小
时40分钟，则B管每分钟进水多少立方米：

- A.6         
- B.7        
- C.8         
- D.9

<BlurredAnswer>
**解析**: **B**。方法 1，方程法。

加 1 小时 30 分钟，即 90 分钟，A 比 B 多进水 180，则每分钟多进 2，设 B 效率为 $$x$$，A 为 $$x + 2$$，

$$
90 \times (x + 2 + x) = 160 \times (x + 2)
$$

方法 2，比例法:

AB 同时进水和 A 进水时间比 $$90:160 = 9:16$$，则效率比为 $$16:9$$，相差 7 份，只有 B 是 7 的倍数，可再代入验证。

</BlurredAnswer>

### 时间效率比例转化

**例**：
为响应建设“绿色城市”的号召，某社区义务植树300
棵，由于参加植树的全体党员植树的积极性高涨，实际工作效率为原来的1.2
倍，结果提前20分钟完成任务，则原来每小时植树多少棵  

- A.120         
- B.150         
- C.135         
- D.125

<BlurredAnswer>
解析：B。效率比$$1：1.2=5：6$$，则时间比$$6：5$$，时间比提前了$$1$$份，$$1$$
份即20分钟，则原来和现在的时间分别是120和100分钟，即原来时间为2
小时，则原来效率为$$300/2=150$$棵/小时。
</BlurredAnswer>

**例**：
某项工程计划300天完成，开工100天后，由于人
员减少，工作效率下降了20%，完成该工程比原计划推迟多少天？  

- A.40     
- B.50     
- C.60     
- D.70 

<BlurredAnswer>
解析：B。方法1：赋值法。 <br/>
假设每天效率为1，总工程为300，开工100天后剩200，效率是0.8，
200/0.8=250 天，多 50天 <br/>
方法2：比例法。时间比，时间份数差<br/>
后期效率比5：4，时间比4：5，以前4份是200，一份为50，现在5份
多一份 
</BlurredAnswer>

